波动方程的能量乘子法

在波动方程的教学中，证明能量不等式通常采用能量 $E(t)$ 的直接求导法。对于柯西问题，该方法由于积分区域随时间演化，必须处理复杂的变限积分求导，计算繁琐且易错。乘子法提供了一种更具几何本质的视角，它通过构造时空散度场，将求导问题转化为几何体表面的积分问题。感谢范晨捷老师在课上所授的内容。

1. 问题

考虑 $n$ 维空间中的齐次波动方程：

$$u_{tt}-a^2\Delta u=0$$

我们的目标是建立能量不等式 $E(T)\le E(0)$ ，进而利用线性性质证明初边值问题或柯西问题解的唯一性。

2. 求导法VS乘子法-核心想法

传统求导法将时间 $t$ 视为参数，对空间 $x$ 的积分进行切片，这种＂切片＂视角导致了变限积分的复杂性。

乘子法的本质是时空几何化。我们将 $(t,x)$ 看作统一的时空。通过适当的代数变形，波动方程可等价为一个时空向量场 $(e,p)$ 的散度为 0 。
此时，我们不再关注＂每一时刻的能量变动＂，而是关注＂时空几何体边界上的通量＂。对于柯西问题，几何体选定为特征光锥；对于初边值问题，几何体选定为直立的时空柱体。

3. The Key Trick

在方程两端同乘 $u_t$ 作为乘子，利用积的导数法则，可将方程写为：

$$\frac{\partial }{\partial t}\underset{e}{\underbrace{\left[\frac{1}{2}\left(u_t^2+a^2|\nabla u{|}^2\right)\right]}}+{\nabla }_x\cdot \underset{p}{\underbrace{\left[-a^2{u}_t\nabla u\right]}}=0$$

即 ${\mathrm{div}}_{t,x}(e,p)=0$ 。

3.1 柯西问题

积分区域：选定以 $\left(t_0,x_0\right)$ 为顶点的特征圆锥 $K$ 。
高斯定理应用：在 $K$ 上应用高斯散度定理，由于内部散度为 0 ，底面与顶面的能量积分为 $E(0)$ 和 $E(T)$ ，其余为侧面 $M$ 的积分：

$$E(T)-E(0)+{\int }_M(e,p)\cdot n_{M}dS=0$$

在侧面 $M:|x-x_0|=a(t_0-t)$ 上，令 $r=|x-x_0|$，$\nu =\frac{x-x_0}{r}$，外法向量方向可取 $N=(ar,x-x_0)=r(a,\nu )$。
于是
$\frac{(e,p)\cdot N}{r}=\frac{a}{2}{u}_t^2+\frac{a^3}{2}|\nabla u{|}^2-a^2{u}_t{\partial }_{\nu }u.$
由于 $|\nabla u{|}^2\ge ({\partial }_{\nu }u{)}^2$，故
$\frac{(e,p)\cdot N}{r}\ge \frac{a}{2}{u}_t^2+\frac{a^3}{2}({\partial }_{\nu }u{)}^2-a^2{u}_t{\partial }_{\nu }u=\frac{a}{2}(u_t-a{\partial }_{\nu }u{)}^2\ge 0.$
因此侧面通量非负，由 $E_K(T)-E_K(0)+{\int }_M(e,p)\cdot n_{M}dS=0$ 得 $E_K(T)\le E_K(0)$。

3.2 初边值问题

积分区域：时空柱体 $Q=[0,T]\times \Omega$ 。
高斯定理展开：

$${\int }_{B_T}edx-{\int }_{B_0}edx+{\int }_0^T{\int }_{\partial \Omega }p\cdot ndSdt=0$$

边界条件代入：整理得到总能量的变化公式：

$$E(T)-E(0)+{\int }_0^T{\int }_{\partial \Omega }\left(-a^2{u}_t\frac{\partial u}{\partial n}\right)dSdt=0$$

我们继续分析侧边的情况

1. 齐次 Dirichlet 边界 $\left({u|}_{\partial \Omega }=0\right)$ ：导致 $u_t=0$ ，侧面项为 0 ，能量 $E(T)=E(0)$ 。
2. 齐次 Neumann 边界（ ${\frac{\partial u}{\partial n}|}_{\partial \Omega }=0$ ）：侧面项为 0 ，能量 $E(T)=E(0)$ 。

4. 其他波动方程变体的能量构造

含质量项：$u_{tt}-c^2\Delta u+m^{2}u=0$
仍以 $u_t$ 为乘子。注意到 $m^{2}u{u}_t={\partial }_t\left(\frac{1}{2}{m}^2{u}^2\right)$，将其吸收进能量密度，即令

$$e:=\frac{1}{2}(u_t^2+c^2|\nabla u{|}^2+m^2{u}^2).$$

此时 ${\partial }_{t}e+\nabla \cdot p=0$ 严格成立，与标准情形完全一致，故同样得到 $E(T)\le E(0)$，唯一性成立。

含耗散项：$u_{tt}-c^2\Delta u+\gamma u_t=0(\gamma >0)$
$u_t$ 相乘$\gamma u_t^2$ 无法写成散度形式，保留在右边。得到

$${\partial }_{t}e+\nabla \cdot p=-\gamma u_t^2.$$

应用散度定理：

$$E(T)-E(0)+\text{侧面非负通量}={\iiint }_K(-\gamma u_t^2)dxdt\le 0.$$

阻尼项使体积分为负，能量在内部被消耗。

5. 非齐次问题如何处理

$$\frac{\partial }{\partial t}\underset{e}{\underbrace{\left[\frac{1}{2}\left(u_t^2+a^2|\nabla u{|}^2\right)\right]}}+{\nabla }_x\cdot \underset{p}{\underbrace{\left[-a^2{u}_t\nabla u\right]}}=f{u}_t$$

引入散度, 方程写为：

$${\mathrm{div}}_{t,x}(e,p)=f{u}_t$$

以柯西问题为例: 能量受控于作用力的体积分, 转化为Gronwall
对 $K$ 使用高斯散度定理时，右端项会保留为一个时空体积分 , 把$\nabla \cdot p$ 舍去, 得到

$$E(T)-E(0)\le {\int }_0^T{\int }_{{\Omega }_t}f{u}_{t}dxdt$$

由于右端项包含未知函数导数 $u_t$ ，我们无法直接计算，必须将其受控于能量密度 $e$

$$\left|f{u}_t\right|\le \frac{1}{2}{f}^2+\frac{1}{2}{u}_t^2\le \frac{1}{2}{f}^2+e$$

于是得到

$$E(T)\le E(0)+{\int }_0^{T}E(t)dt+\frac{1}{2}{\int }_0^T{\int }_{{\Omega }_t}{f}^{2}dxdt$$