边缘算子的正负交错是为了修正面拼接时的“方向兼容”，而奇异同调中 的本质仅仅是连续映射保留了标准单纯形上棱的组合几何抵消。
1. The Setup
在定义奇异同调的时候，边缘算子的交错形式总会让人感觉不够直观。 我们不妨退回至更简单的单纯同调框架中，探讨标准单纯形 的边界算子 背后的几何，并弄清其向奇异同调的推广。
2. 单纯形的定义
“凸包”的想法是，如果你在这些顶点上套上一根橡皮筋，橡皮筋包住的那个最紧凑的的实心几何体就是凸包。4个点的凸包： 由 张成的凸包，是一个实心四面体。
然而, 我们希望凸包带有方向, 这样我们能够对它进行加减运算. 严格定义如下
对顶点所有的排列组合（置换群）定义一个等价关系：
- 如果两个排列可以通过偶数次交换顶点得到，我们就认为它们是同向的（属于同一个单纯形）。
- 如果需要奇数次交换，它们就反向。
课本公式给出的奇异同调的面算子： . 用顶点记号来写，它的定义其实就是把标准顶点按顺序映射，唯独跳过第 个：
边缘算子变成了非常直观的“轮流抠掉一个顶点”的交错求和：
3. 交错相消
边缘的边缘=0 .对于高维情形，其原理可以浓缩为一句话：“任何一个 维的‘棱’，必然被恰好两个维的‘面’所共享，并且这两个面在这个‘棱’上诱导的方向必定相反，从而互相抵消。”
我们不去严谨证明边缘算子的边缘算子=0, 而是给出一个足够符合直觉的三维计算: 我们计算三维单纯形的边缘的边缘=0
根据公式 ，我们依次去掉一个顶点：
这里出现了正负交错。现在我们得到了 4 个二维三角形。
- 第一项 ：
- 第二项 ,
- 第三项 ：
- 第四项 ：
可以看到每一条棱出现了两次, 然后又刚刚好地被消去
4. The key trick - 连续映射没有发挥作用
在奇异同调中，如果我们要对映射 求边界，本质上等于提取 在第 个面上的限制，写成复合映射就是 。 由于映射的复合具有结合律，当我们对连续映射 连续作用两次边缘算子时，连续映射 仅仅是安静地待在最外面：
因为在标准单纯形 的组合层面上，那些棱已经一正一反互相抵消（），所以无论连续映射 作用后将它们放置何处，它们在空间 中的代数和依然会抵消