杜哈梅原理：非齐次方程的时间叠加法

【核心 Takeaway】

面对非齐次演化方程，源项 $f(x,t)$ 并不是持续存在的负担。杜哈梅原理的精髓在于：将外力视为每一极短瞬间施加的“冲量”，把非齐次方程转化为无数个齐次方程“初速度”的线性叠加。

The Setup

对于经典的非齐次波动方程：

$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=f(x,t)\\ u{|}_{t=0}=0,{\frac{\partial u}{\partial t}|}_{t=0}=0\end{array}$

面对等式右边复杂的非齐次项 $f(x,t)$，如果我们纯粹从代数角度去寻找特解往往十分繁琐。但如果切换到物理视角，答案其实就隐藏在方程本身之中。

物理直觉

根据物理学，$f(x,t)$ 的物理意义是：在 $t$ 时刻、$x$ 位置，单位质量受到的外力。

物理想法：

根据方程的叠加性质, 我们在任意时刻 $\tau$，在极小时间范围 $\Delta \tau$ 内考虑这个力的作用。由于作用时间极短，系统来不及发生位移，仅仅改变了初始的速度。在这之后，外力相当于撤去，系统仍然进行齐次演化，我们将此时的局部波函数记为 $W(x,t,\tau )$。

根据动量定理，$f(x,\tau )\Delta \tau$ 代表了受力转化而来的速度增量，即辅助方程的初始条件变为：

$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}W}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2}W}{\partial x^2}=0\\ W{|}_{t=\tau }=0,{\frac{\partial W}{\partial t}|}_{t=\tau }=f(x,\tau )\Delta \tau \end{array}$

由于波函数满足线性叠加原理，把每一个时间切片 $\tau$ 产生的 $W_i$ 求和，就能得到整体响应：$u={\lim }_{\lambda (P)\to 0}\sum W_i$。

但是，这里的 $W_i$ 包含的初速度是一个无穷小量，为了符合教科书中通用函数的定义，我们提取出一个辅助函数 $W_i^{\prime }=\frac{W_i}{\Delta \tau }$。也就是说，直接把初值取为 $f(x,\tau )$：

$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^2{W}^{\prime }}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^2{W}^{\prime }}{\partial x^2}=0(t>\tau )\\ W^{\prime }{|}_{t=\tau }=0,{\frac{\partial W^{\prime }}{\partial t}|}_{t=\tau }=f(x,\tau )\end{array}$

这样一来，离散的求和就顺理成章地化为了积分：

$u(x,t)={\lim }_{\lambda (P)\to 0}\sum W_i^{\prime }\Delta \tau ={\int }_0^t{W}^{\prime }(x,t,\tau )d\tau$

为了方便计算，通常令 $t^{\prime }=t-\tau$，使演化时间从 0 开始，代入常规的达朗贝尔公式即可解得 $u(x,t)$。

一般情况的推导

一般地，对于包含任意空间算子 $L$ 的高阶演化方程 $\frac{{\partial }^{k}u}{\partial t^k}+Lu=f(x,t)$，我们同样可以构造齐次辅助方程（初值仅在 $k-1$ 阶导数为 $f(x,\tau )$）：

$\{\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{k}W}{\partial t^k}-LW=0(t>\tau )\\ W{|}_{t=\tau }=\cdots =0,{\frac{{\partial }^{k-1}W}{\partial t^{k-1}}|}_{t=\tau }=f(x,\tau )\end{array}$

断言其解同样为 $u(x,t)={\int }_0^{t}W(x,t;\tau )d\tau$。

极简验证：

利用 Leibniz 变上限积分求导法则对 $u(x,t)$ 逐次求时间导数。在前 $k-1$ 次求导时，由于 $W$ 及其低阶导数在 $t=\tau$ 时初值皆为 0，变上限代入项（即在积分上限处求值的那一项）全为 0：

$\frac{{\partial }^{j}u}{\partial t^j}={\int }_0^t\frac{{\partial }^{j}W}{\partial t^j}d\tau (j\le k-1)$

唯独当求第 $k$ 阶导数时，变上限代入项恰好“释放”出了初始条件 $f(x,t)$：

$\frac{{\partial }^{k}u}{\partial t^k}=f(x,t)+{\int }_0^t\frac{{\partial }^{k}W}{\partial t^k}d\tau =f(x,t)+L{\int }_0^{t}Wd\tau =f(x,t)+Lu$

移项即得 $\frac{{\partial }^{k}u}{\partial t^k}-Lu=f(x,t)$，原方程直接得证。

时间平移不变性

在实际计算中，由于空间微分算子 $L$ 不显含时间 $t$（系统时齐），系统具有时间平移不变性：在 $t=\tau$ 时刻给予系统的冲击，其演化规律与 $t=0$ 时完全相同，仅在时间轴上向后平移了 $\tau$ 个单位。

因此，实际计算时, 只需要：

1. 解 $t=0$ 的标准初值问题：直接求解初值为 $f(x,\tau )$ 的标准齐次方程，得到解 $W(x,t)$。
2. 时间平移：将解中的 $t$ 直接替换为 $t-\tau$. 代入总积分，写出最终答案：
   $u(x,t)={\int }_0^{t}W(x,t-\tau )d\tau$
   一维波动方程实例：

标准齐次解为 $\frac{1}{2a}{\int }_{x-at}^{x+at}f(\xi ,\tau )\mathrm{d}\xi$，完成平移并积分：

$u(x,t)=\frac{1}{2a}{\int }_0^t{\int }_{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(\xi ,\tau )\mathrm{d}\xi \mathrm{d}\tau$