如何秒记曲面坐标系下的三大算子公式？

核心

忘掉那些死记硬背的偏导数。在正交曲线坐标系中，梯度、散度、旋度公式里的各种拉梅系数 $h_i$，本质上只是为了进行“几何修正”：抵消基底拉伸、补齐侧面积、或是还原真实路径长度。

1. The Setup: 烦人的系数 $h_i$

在引入拉梅系数 $h_1,h_2,h_3$（对应弧长微元 $d{s}_i=h_{i}d{q}^i$）后，三大微分算子的公式常常让人眼花缭乱。尤其是散度和旋度，一会除以总体积，一会偏导数里面又套着 $h$ 的乘积。

但只要回归它们的几何与物理定义，这些公式的结构其实是一目了然的。

2. 三大算子中的几何推导

梯度的系数：为了“抵消基向量拉伸”

$\nabla f={\sum }_{i=1}^3\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial q^i}{e}_i^{\prime }$

梯度反映的是函数在空间真实距离上的变化率。由于虚拟坐标 $q^i$ 走过 1 个单位，真实空间走过了 $h_i$ 的距离。为了求真实的变化率，必须除以 $h_i$ 来抵消新坐标基的长度。

记住一句话: 梯度每个分量需对应原空间中的向量长度
我们计算$(\nabla f{)}_1$
我们计算沿着$e_1^{\prime }$的方向导数

$$D_{e_1^{\prime }}f=\nabla f\cdot e_1^{\prime }$$

左侧$D_{e_1^{\prime }}f=\frac{\partial f}{\partial q^1}$.
右侧是一个向量与基做内积, 基下的坐标还要除以基的模长 , 所以$(\nabla f{)}_1=\frac{\nabla f\cdot e_1^{\prime }}{|e_1^{\prime }|}=\frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial q^1}$

散度的系数：内层“求侧面积”，外层“除以总体积”

$\nabla \cdot \mathbf{A}=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}{\sum }_i\frac{\partial }{\partial q^i}\left(\frac{h_1{h}_2{h}_3}{h_i}{A}^i\right)$

散度是单位体积的通量（流量）。

$$\nabla \cdot \mathbf{A}=\underset{V\to 0}{\lim }\frac{1}{V}{\oint }_{\partial V}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}.$$

右侧是一个与坐标无关的量
如图所示, 我们计算几何量

对这个小方块内对三个方向流量求和, 再除以总体积$V=h_1{h}_2{h}_{3}d{q}^{1}d{q}^{2}d{q}^3$, 就得到了结果

内层的积： 为什么偏导号里面是 $\frac{h_1{h}_2{h}_3}{h_i}$？因为这恰好是第 $i$ 个方向的微元侧面积（例如 $i=1$ 时，面积就是 $h_2{h}_3$）。流量 = 速度分量 $A^i\times$ 侧面积。

外层的商： 最外层的 $\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}$ 显然就是除以微元总体积，从而得到体积密度。

旋度的系数：内层“求边长”，外层“除以总面积”

$$(\nabla \times \mathbf{A})\cdot \mathbf{n}=\underset{S\to 0}{\lim }\frac{1}{S}{\oint }_{\partial S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}$$

$(\nabla \times \mathbf{A}{)}_1=\frac{1}{h_2{h}_3}\left[\frac{\partial \left(A^3{h}_3\right)}{\partial q^2}-\frac{\partial \left(A^2{h}_2\right)}{\partial q^3}\right]$

旋度的分量是单位面积的环流量。

具体推导与散度完全平行

内层的积： 环流等于场强乘以真实路径长度。因此偏导号里面必须是场强分量 $A$ 乘以对应的真实微元边长 $h$。

外层的商： 同理，由于是在 $2,3$ 构成的平面上求积分，最后必须除以该面的微元总面积 $h_2{h}_3$。