不保持基点的同伦等价会有什么麻烦

不保持基点的自由同伦会导致函子性的失效, 我给出了一个自由同伦的小例子, 可以直观理解函子性失效如何发生
然而, 函子性的失效并非灾难, 只需要补充一个同构, 基本群最重要的Van Kampen定理还能正常运转

1. The Set-up

假设有自由同伦等价 $f:X\to Y$ 及其同伦逆 $g:Y\to X$复合映射 $g\circ f:X\to X$。
因为 $g\circ f\simeq {\mathrm{id}}_X$，存在一个同伦映射 $H:X\times I\to X$
在这个同伦过程中，$x_0$ 沿着一条路径移动了。我们把这条路径记为 $\alpha$：
$\alpha (t)=H(x_0,t)$
当我们考察诱导映射时，$(g\circ f{)}_{\ast }$ 实际上是从 ${\pi }_1(X,x_0)$ 映射到了 ${\pi }_1(X,x_1)$

对于 ${\pi }_1(X,x_0)$ 中的任意环路类 $[\omega ]$，有
$(g\circ f{)}_{\ast }([\omega ])={\alpha }_{\ast }([\omega ])=[\alpha {]}^{-1}[\omega ][\alpha ]$

结论： 未定基点的同伦等价确实能给出基本群的同构，但这个同构不是典范的它们之间的同构相差了一个内部自同构

2. 不保持基点的例子有什么?

对于一个圆, 任何定义旋转映射 $f:S^1\to S^1,f(z)=z{e}^{i\pi }$（也就是旋转 180 度）。 这是一个同胚，显然也是同伦等价。
它不保持基点, 但由于圆的基本群是交换群, 所以共轭会消去, 所以$f_{\ast }$仍然是典范群同构.

因此, 我们真正需要考虑的是基本群不交换的情形:

设空间 $Y$ 两个圆环，中间用一条线段 $I$ 连接, 端点分别为$v_1,v_2$ . 空间 $X=S^1\vee S^1$ , 设两个圆环分别为$a,b$​ .

$f$是收缩$I$的映射, $g$在$a$上是嵌入, 在$b$上是$I^{-1}bI$ , 并且我们确保$g(x_0)=v_1$ 让映射良定义

显然，$f$ 和 $g$ 互为同伦逆，且 $f\circ g={\mathrm{id}}_{X}rel\{x_0\}$

问题出在 $g\circ f:Y\to Y$ 上：

设我们以哑铃图右边的端点 $v_2$ 为基点。复合映射 $(g\circ f)(v_2)=v_1$。基点从右边的圆环跑到了左边的圆环

基本群的变化：

${\pi }_1(Y,v_2)$ 的生成元是右环 $b$，以及通过线段借道过去跑一圈的左环 $I^{-1}aI$。
$(g\circ f{)}_{\ast }$ 把群 ${\pi }_1(Y,v_2)$ 映射到了 ${\pi }_1(Y,v_1)$。它不是把生成元映射给自己，而是加上了线段 $I$ 作为共轭：

$$\begin{array}{rl}& (g\circ f{)}_{\ast }(b)=Ib{I}^{-1}\\ & (g\circ f{)}_{\ast }\left(I^{-1}aI\right)=a\end{array}$$

3. 麻烦是函子性的失效

对于基本群 ${\pi }_1$ ，它是一个从带基点拓扑空间范畴到群范畴的函子：

• 对象：空间 $\left(X,x_0\right)$ 射到群 ${\pi }_1\left(X,x_0\right)$
• 态射：保基点连续映射
  $f:\left(X,x_0\right)\to \left(Y,y_0\right)$ 射到群同态

$$f_{\ast }:{\pi }_1\left(X,x_0\right)\to {\pi }_1\left(Y,y_0\right)$$

函子性要求单位到单位, 而且最重要的是

$$(g\circ f{)}_{\ast }=g_{\ast }\circ f_{\ast }$$

如果是自由同伦（不保持基点），为了把基点拉对齐，必须人为选择一条路径 $\gamma$。这时候，上面的等式就会变成：
$g_{\ast }\circ f_{\ast }={\mathrm{Ad}}_{\gamma }\circ (g\circ f{)}_{\ast }$

（其中 ${\mathrm{Ad}}_{\gamma }(x)={\gamma }^{-1}x\gamma$ ）。

放在推导当中, 图交换的要求就高了很多

4. Van Kampen定理的基点修正

在用 Van Kampen 定理做拼接时，若对 $U$ 或 $V$ 进行同伦等价化简，必须同时追踪基点如何变化，并在写商关系时用共轭路径修正。否则，代入未修正的关系将等价于引入一个错误商，算出的群可能与正确答案完全不同构。下面, 我给出一个任取基点的Van Kampen定理, 这体现了代数系统良好的兼容性:

任取基点的Van Kampen定理

设 $X=U\cup V$ ，其中 $U,V$ 是开集，且 $U、V、U\cap V$ 都道路连通
在 $U\cap V$ 中任选一个基点 $p$ , 在 $U$ 中选基点 $q$ ，在 $V$ 中选基点 $r$

选两条 修正路径$\lambda$ ：在 $U$ 中从 $p$ 到 $q,\mu$ ：在 $V$ 中从 $p$ 到 $r$ ．
记包含映射$i:U\cap V\hookrightarrow U,j:U\cap V\hookrightarrow V.$

它们诱导的群同态在加上路径修正后成为

$$\begin{array}{ll}{i}_{\lambda }:{\pi }_1(U\cap V,p)⟶{\pi }_1(U,q),& i_{\lambda }(\alpha )={\lambda }^{-1}\cdot i_{\ast }(\alpha )\cdot \lambda ,\\ j_{\mu }:{\pi }_1(U\cap V,p)⟶{\pi }_1(V,r),& j_{\mu }(\alpha )={\mu }^{-1}\cdot j_{\ast }(\alpha )\cdot \mu .\end{array}$$

存在典范同构

$${\pi }_1(X,p)\cong \frac{{\pi }_1(U,q)\ast {\pi }_1(V,r)}{{⟨i_{\lambda }(\alpha )\cdot j_{\mu }(\alpha {)}^{-1}\mid \alpha \in {\pi }_1(U\cap V,p)⟩}^N}.$$

证明方法无需另起炉灶, 只需要用一个基点变换的同构把不同的基点转移到同一个基点上
把原有Van Kampen定理的关系改写为

$${\varphi }_{\lambda }\circ i_{\ast }(\alpha )={\varphi }_{\mu }\circ j_{\ast }(\alpha )$$

但在实际操作中, 我们几乎完全不需要用到这个定理, 只需要在每次使用Van Kampen定理的时候都追踪好基点即可