形变收缩但不是强形变收缩的例子

是形变收缩核但不是强形变收缩核的例子似乎很难想象, 查阅经典教科书, 利用梳子空间可以给出这样的例子. 更关键的是, 练习这个例子可以帮我们更好地理解同伦的关键是如何理解和利用它的连续性.

0. The Set-up

形变收缩但不是强形变收缩

设$X=\left\{0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\dots \right\}\times [0,1]\bigcup [0,1]\times \{0\}$
结论: $a=(0,1)$是形变收缩核, 但不是强形变收缩核.

定义$a_n=\left(\frac{1}{n},1\right)$ 有​$a_n\to a$.

1. $X$ 的强形变收缩核是什么?

我们注意$I$显然是$X$的强形变收缩核, 而$I$的任何一点都是强形变收缩核, 我们取$c_0=(0,0)$显然是$X$的强形变收缩核

只要再从$(0,0)$用道路连到$a$, 那么$a$就是普通的形变收缩核

2. 为什么$a$不是强形变收缩核

2.1 the key trick

同伦映射构造了一个关于 “时间”和”空间”层面都连续的函数, 如果初始时候 “空间”层面足够接近, 由于一致连续性, 就会导致整个”时间”范围内都满足相同的结论.

2.2 完整过程

反证法
设$H:X\times I\to X,H{|}_{t=0}=i{d}_X,H{|}_{t=1}=C_a$ , 假设$H(a,t)\equiv a$

我们用上面的图表示$H$的定义, 用黄色标注的地方代表$H(x,t)\equiv a$

对于同伦映射, 我们有一种连续映射的直觉: 由于$X\times I$显然是紧的度量空间, 可以嵌入到$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$当中, 因此一致连续性成立.

$$\left|\left(x_1,t_1\right)-\left(x_2,t_2\right)\right|<\delta \Rightarrow \left|H\left(x_1,t_1\right)-H\left(x_2,t_2\right)\right|<\epsilon$$

这意味着, 在$X\times I$当中, $(x,t)$只要足够靠近$\{a\}\times I$这条柱子, 在同伦映射作用后, 就应该足够靠近$a$ , 然而, 这与我们对连通的想象不相符
我们取$a$的一个$\epsilon$邻域

如图所示, 可以选取$a_N$与$a$的距离小于$\epsilon$ , 则$\left|(a_N,t)-(a,t)\right|<\epsilon$, 这就导致$H(a_N,t)$一直不能离开虚线范围.
然而, $a_N$所在的线段与$a$是不连通的, $H(a_N,t)$应该构成一条从$a_N\to a$的道路, 矛盾.